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簡単辞典(数学IA) 対称式

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対称式とは?                    直前のページに戻る
対称式の「対称」は、左右対称の「対称」と同じ意味です。左右対称の物体は、右と左をひっくり返しても元と同じように見えますよね。それと同じように、式の中の2つの部分を入れ替えても、元の式と変わらない式を対称式といいます。
例えば、x2 + y2は、xとyを入れ替えても式はy2 + x2ですから、元の式と変わりません。つまり、x2 + y2は対称式です。

対称式は、基本対称式の組み合わせで表現できるという性質があります。基本対称式とは、入れ替える2つの部分(上の例では、xとy)の積(上の例では、xy)と和(上の例では、x + y)のことです。
x2 + y2を変形してみると、
    x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy
となり、確かに基本対称式の組み合わせで表現できます。
つまり、対称式はどんなに複雑であっても、基本対称式の組み合わせで表現でき、基本対称式(xyとx + y)の値が分かっていれば、計算を簡単にできるということです。

また、対称式は何も2つの文字が出てくる場合に限らず、例えば、x2 + 1/x2のように使われている文字は1種類ですが、xと1/xを入れ替えても元の式と変わりませんから、対称式です。この場合、基本対称式に相当するものは 1(xと1/xの積)とx + 1/x(xと1/xの和)ですから、x + 1/xを使って式を変形することになります(1は数字ですから、使う必要はありません)。



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