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簡単辞典(数学IA) 因数分解

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因数分解とは?                    直前のページに戻る
昔、10 = 2 x 5とか18 = 2 x 32というように、整数は必ずいくつかのそれ以上分解することのできない整数(素因数)の積(掛け算)で表現できると習ったと思います。
整式(xやyなどの文字で表現された式)でも同じことができ、その計算を因数分解と言います。
例えば、x2 + 2x - 3という2次式の場合、(x + 3)(x - 1)の形に変形することです。

計算方法は、理屈ではなく、以下の公式を覚え、使い方に慣れていくようにしましょう。
    x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
例えば、x2 + 2x - 3の場合には、
    a + b = 2, ab = -3
です。つまり、「足すと2、掛けると-3になる数字は何と何?」という問題を解けば良いわけです。つまり、3と-1がそれぞれaとbになります(どちらをa、bとしても構いません)から、答えは(x + 3)(x - 1)となります。
(公式なので、a,bという文字を使っていますが、考えるときには、上の文章のように「足すと2」「掛けると-3」になるものを探すと考えたほうが簡単だと思います。)

x2 + …(つまり、x2の係数が1)の場合の因数分解は、すべて上の公式のみで解くことができます。しかし、特殊な形の場合には、もっと簡単に公式のみで求めることが可能です。
    x2 + 2ax + a2 = (x + a)2  例)x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
    x2 - 2ax + a2 = (x - a)2  例)x2 - 4x + 4 = (x - 2)2
    x2 - a2 = (x + a)(x - a)  例)x2 - 25 = (x + 5)(x - 5)

また、x2の係数が1以外の場合も有り得ます。その際は、まずx2の係数もしくはその素因数で式全体を割ることができるか考えます。
    2x2 - 12x + 18 = 2(x2 - 6x + 9) ←次にカッコ内を因数分解
= 2(x - 3)2

なお、式全体を割ることができなかったり、割ってもなおx2の係数が1以外の場合には、以下の公式を使います。
    acx2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)
例えば、4x2 - 11x - 3の場合には、まずx2の係数と定数がそれぞれ何と何を掛けたものが考えます。4は1 x 4か2 x 2ですね。このどちらかがa、もう一方がcです。
同様に-3は(-1) x 3か(-3) x 1ですから、このどちらかがb、もう一方がdです。あとはad + bcを計算してみてxの係数と一致するものを探します。
a = 1, c = 4, b = -3, d = 1とすると、ad + bc = -11でxの係数と一致しますから、答えは
    4x2 - 11x - 3 = (x - 3)(4x + 1)
となります。
この計算は少し複雑になるため、教科書、参考書によっては、「たすきがけ」という方法を使っていることもありますが、計算の原理は同じです。








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